负数减正数
职业数学家在民间
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我接下来计划写的许多数学普及文章都需要用到负数和复数。考虑到公众可能会对这两类数，尤其是复数感到陌生，所以这个专栏一开始就计划写两篇文章分别介绍负数和复数。这是第一篇。
一、引入负数之前，人类已经知道了哪些数？
自然数，是指0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12……
人类最早认识的数其实是非零的自然数，但即使是这种认识，也经历了非常漫长的时间。认识到十只兔子的10，和十条鱼的10是一回事，对于早期狩猎的原始人来说，是非常不容易的！
如果说人类接触非零的自然数的历史可以追溯到几十甚至几百万年前的话，0这个数的正式引入也就是两千多年前的事，而把0归入自然数只是几十年前的事。即使到今天，公众谈论0这个数时可能还会觉得有些不解和神秘感。
人类认识的第二种数是分数。在日常生活中，分数也是无处不在的。比如，下面是1块蛋糕，
分数，是指形如m/n的数(其中m和n都是非零自然数)，表示将m分成相同大小的n份后，每一份的大小，也称为m和n的比值。我们称m为分子，n为分母。分数通常也写作
分数和自然数都可以表示量，比如大小，面积或者长度。
但是有些长度是无法用分数和自然数表示的，比如单位正方形的对角线，它的长度√2就不是分数。
关于这一点以及为什么单位正方形对角线的长度为√2，我们在文章《为什么√2不等于分数》中已经详细介绍了。
如何扩充自然数和分数构成的数系呢？从新数√2的发现来看，一种可行的方式是用长度来表示数，而这就引出了数轴的概念。
数轴是指从一个固定的点(原点)向右一直延伸到无穷的射线。数轴上的每一个点到原点都有一个固定的距离或长度，而这个长度又对应唯一的一个数。比如0就对应原点。按照这种方式，数轴上的所有点和所有可以表示长度的数之间可以完美地对应起来，越是靠右边的点，它所对应的数就越大。每个这样的数(包括√2)都可以在数轴上找的自己的位置，虽然显得很拥挤。
正数，是指大于零的数，也就是表示非零长度的数
可以表示长度的数的加法运算是非常简单的，无非就是长度的拼接。
如何理解乘法呢？从数轴的角度来看，乘法代表着数轴保持原点不动的伸缩。
比如将所有的数都乘上2，相当于让数轴沿右伸长成原来的2倍，乘上1/3相当于让数轴收缩成原来的1/3。这种变换(比如伸长，缩短，以及后面将会提到的旋转)的观点在高等数学中非常普遍。
好了，这些就是人类在认识负数之前，已经知道的关于数的最主要的知识。
二、负数的引入 ?
前面提到人类认识到十只兔子的10，和十条鱼的10是一回事的时候，就已经开始接触自然数了。但同样的数字在相反的语境下，却有完全不同的意味。比如我手头有2万元钱的2，和我欠别人2万元的2；我今年赚了50万元钱的50，和我今年赔了50万元钱的50；海拔300米的300和海底300米的300；向左移动6米的6和向右移动6米的6。区分这些相反语境下的数字就导致了负数的引入。
负数，是在正数x前面加一个减号，写作—x，代表着和正数x相反的量。我们称x和—x是相反数。－2，－5，－1/3，－√2，分别读作负二，负五，负三分之一，负根号二。－2和2 是相反数，1/3和－1/3是相反数。
比如我欠别人2万元可以说成，我手头有－2万元钱；我今年赔了50万元钱，可以说成，我今年赚了－50万；海底300米可以说成海拔－300米；向左移动6米可以说成向右移动－6米。大家可能会觉得这类说法会很绕口，但是负数的引入使得人们可以不必在相反的语境之间不断转换，这在很多情况下，(比如商业活动，计算和测量)给人们带来各种便利。日常生活的负数也是随处可见的，比如天气预报中的－5℃(零下5度)，电梯中的－1层－2层等等。
实数：我们把负数，正数和零统称为实数
上一节讲过零与正数，和数轴上的点完全对应，比如从数轴原点出发，向右移动2个单位距离，就到了数2对应的点。引入负数后，我们希望这种对应法则依然保持，而这就要求我们把数轴向左无限延伸。此时，向右移动－2个单位距离，就应该到达数－2对应的点，而我们前面讲过了向右移动－2个单位距离也就是向左移动2个单位距离，所以－2对应的点在原点的左边，距离原点为2。下图表示扩充后的数轴，数轴上的点和实数(包括负数，0，正数)完全对应，和上一节一样越是靠右边的点，它所对应的数就越大。比如－4<－1<0。
四、加减法
在引入负数之前，人们可能会认为 3－5 这样的运算没有意义，但现在情况不一样了。想想看你昨天赚了3万元，但今天又赔了5万元，那你这两天赚了多少钱呢？实际上应该是赔了2万元，或者说赚了－2万元。写出等式就是
3－5 ＝－2
但是今天赔了5万元又可以说成是今天赚了－5万元，所以上面的等式也可以写成：
3＋ (－5) ＝－2
法则：加上一个负数等于减去相应的正数。特别地，两个相反数的和为0，比如：3＋ (－3) ＝0
再来看一个形象的比喻：一个富翁，他的个人固定资产是3千万，银行存款是5千万，他还欠朋友2千万。如果我们统计他的总资产的话，应该是把三个部分加起来
3+5+(—2)＝6 ? (千万)
而且不论我先加哪两个部分，再加第三个部分，计算结果都应该是一样的。这就引出了交换律和结合律
在实数的加法中，交换律和结合律还是成立的：
a+b＝b+a；
(a+b)+c＝a+(b+c)
好了再回到上面那个有6千万总资产的富翁，如果他的朋友突然免除了他的2千万债务，等于说他的资产增加了2千万。这时计算他的新的总资产就应该是
6－(—2)＝6＋2=8?? (千万)
法则：减去一个负数等于加上相应的正数。
所以引入负数后，加减法还是比较简单的，而乘法则更难理解。
五、乘法，为什么负负得正？
我们先来看负数乘以正数的情况，再来个比喻，如果你做生意，每天赚了5万元，10天之后就赚了
5×10＝50 （万）
但如果你每天赔了5万元，或者说每天赚了－5万元，那么10天之后就是
赔了50万，或者说赚了
(—5)×10＝－50?（万）
法则：负数乘以正数等于相应的正数相乘，再加个负号（正负得负，负正得负）
从数轴的角度来看，实数(不论正数还是负数)乘上某个正数，比如2，的效果就是让数轴保持原点不变，左右同时伸长成原来的2倍。所以负数乘正数得到负数是不难理解的。
真正难理解的是，为什么负数乘负数会得到正数(负负得正)。几百年前，当人们刚引进负数的时候，这个问题就引发巨大的争议，甚至连当时的一些著名的数学家都无法接受负数乘负数会得到正数。直到今天，仍然有不少人会问为什么—1乘以—1会等于1？
如何形象地说明负负得正呢？我们还是拿赚钱来做比喻。假如有个人从2009年到2029年20年时间内年年都做生意，年年刚好赔30万元，也就是赚—30万元，从现在(2019年)开始算，5年后他的资产会比现在多
(—30)×5＝－150（万）
也就是，5年后他的资产会比现在少150万。而10年后他的资产会比现在多
(—30)×10＝－300（万）
那么—10年后他的资产会比现在多多少呢?自然应该是
(—30)×(－10)
但是—10年后，也就是10年前，他的资产应该比现在多300万(因为年年赔30万嘛)，所以我们就有等式：
(—3)×(－10)＝300（万）
当然了，这只是一种形象，粗浅的说法。负负得正还有更深刻的内在理由：保持各种加法乘法定律！
自然数，分数，甚至正数的加法和乘法会满足各种定律，比如，交换律，结合律，分配律，0乘定律。
乘法交换律和结合律：ab＝ba；(ab)c＝a(bc)
加法和乘法的分配律：(a+b)c＝ac+bc
0乘定律：任何数乘上0都等于0
比如5×3=3×5，(2+5)×3=2×3+5×3，(—5)×0＝0，1×(—5)＝—5。
在数学中各种定律是不能轻易破坏的。
以后，大家会看到，复数引入后这些定律还是成立的，而为了引入四元数，我们不得不牺牲乘法交换律，这是非常遗憾但也是不可避免的事情。
引入负数之后，我们当然还希望这些定律能保持成立。根据0乘定律，我们应该有
(3+(－3))×(－10)＝0×(－10)=0
而根据分配律，上面等式的左边应该是
(3+(－3))×(－10)＝3×(－10)＋(－3)×(－10)
我们之前已经知道了?
3×(－10)＝－30
所以(－3)×(－10)应该等于30。
考考您：我们前面已经讲过为什么3×(－10)＝－30。您能否用0乘定律和分配律直接推导出3×(－10)＝－30？
从数轴的角度也可以非常直观的理解负数乘法，比如乘以—1的作用相当于是让数轴上的点从原点的一边移到另一边，并保持和原点的距离不变，也相当于让整个数轴沿着原点转动180度。等我们讲下一期《复数介绍》的时候，大家会发现，这种转动的解释非常重要！
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