高中数学优秀教案
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《2.1.2 离散型随机变量的分布列》教学设计??铜陵市实验中学：邢爽
一、教学内容分析
本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-3）中第二章《随机变量及其分布》第一节“离散型随机变量及其分布列”的第二课时．
引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律，即所有随机事件发生的概率．离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．对随机变量的概率分布的研究，实现了随机现象数学化的转化．学生在第一课时已经学习了“离散型随机变量”，对离散型随机变量的概念有了一定的认识．了解到建立从随机试验结果到随机变量的映射的目的是将实际问题数量化，便于用数学工具更好地研究问题，进一步体会数学建模的思想.教师的重要作用就在于培养学生“数学地”观察事物，对现象或问题 “数学地”思考，进而合理地量化和转化，把问题“数学化”，用数学的思想方法加以解决．本节课要研究随机变量所表示的随机事件的概率分布情况，即建立“离散型随机变量的分布列”这一数学模型. 离散型随机变量和其对应的概率之间是一种函数关系，因此可以类比函数来研究. 教师引导学生用数学的思维分析问题，用数学的思想方法解决问题. 通过类比函数的表示方法，首先对三个具体实例进行表示，获得对“离散型随机变量的分布列”模型的初步认识，再从这些具体实例中抽象概括出离散型随机变量的分布列的一般定义并进一步探索性质. 在概念得出的过程中，可以培养学生的抽象概括能力. 在此基础上学习两点分布等特殊的分布列，理解分布列对于刻画随机现象的重要性，能够应用分布列解决实际问题．在实际问题的解决中，可以培养学生的数学建模能力.
因此，本节课的教学重点：理解离散型随机变量的分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性，理解两点分布的模型及其应用．
二、教学目标设置
1．通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性；类比函数的几种表示法学习离散型随机变量分布列的表示方法；探索离散型随机变量分布列的性质．
2．通过学生的自主探究，进一步体会数学抽象、数学建模的思想，培养学生抽象概括能力．
3．通过类比、推广、特殊化等一系列思维活动，体会统计思想，学会用统计思想分析和处理随机现象的基本方法.在解决实际问题的过程中，同学们加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会用数学解决一些实际问题.
4．通过创设情境，调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感．，经历建立数学模型的过程，欣赏数学模型的价值。
三、学生学情分析
（一）学生程度
我所授课的对象是铜陵市第一中学的学生．学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力较强．虽然已经经历了概率的学习，但是对随机变量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强．
（二）知识层面
1．学生已经学习过概率的知识并掌握了计数原理；
2．掌握了离散型随机变量的定义．
（三）能力层面
1．具有一定的数学抽象的能力；
2．具有一定的数学建模的基础．
根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主利用古典概型计算概率的公式完成求基本事件的概率．在具体操作过程中，需要老师的引导和帮助．
教学难点：理解离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性．
四、教学策略分析
1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法．
2．本节教学内容的脉络是：复习旧知，引入新课——研究实例，抽象概括——探索性质，辨析概念——数学建模，两点分布——实际应用，解决问题——课堂小结，反思提升.
首先对上节课已经学习的随机变量的概念加以回顾，并进一步提出后续问题，即“我们更关心随机事件发生的可能性有多大，即随机变量取不同值的概率分布情况是怎样的”，以开门见山的方式提出问题，引发学生的思考.然后对于如何解决这个问题，以三道实际问题“掷骰子”、“掷硬币”、“摸次品”为背景，启发学生寻求解决问题的方法．类比函数的表示方法，研究离散型随机变量分布列的表示方法，进而抽象概括随机变量分布列的概念；探索离散型随机变量的性质，并辨析概念；通过举例，掌握两点分布的分布列模型及其应用；在解决实际问题的过程中，使学生加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系.利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象，通过类比、推广、特殊化等一系列思维活动，体会统计思想，学会用统计思想分析和处理随机现象的基本方法.
3．在探索两点分布和解决实际问题的过程中，通过小组合作交流，同桌协作探究的方式，借助图形计算器等信息技术手段，为学生的数学探究与数学思维提供支持，完全调动学生学习的积极性和主动性，培养学生的探究精神及协作意识，使学生真正体会数学抽象、数学建模思想，并能体验成功的喜悦.
五、教学过程
活动一：研究实例，抽象概括
研究问题1：求下列随机变量取各个不同值时的概率：
（1）抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数；
（2）掷一枚均匀的硬币，向上一面的结果；
（3）在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则其中含有的次品数.
师生活动：
教师提问，学生思考回答．从复习旧知入手，引入新课．
设计意图
以三个贴近学生生活的实例，复习“离散型随机变量”的概念，立足学生的思维起点，注重在学生的“最近发展区”内设置问题，便于学生发现规律，提出问题. “低起点”为本节课学生的高参与度奠定了基础．
研究问题2：如何表示上述三个实例中从随机变量到概率的映射？
师生活动：
教师展示课件，类比函数的三种表示方法，分别对这三组映射进行表示，并说明三种方法的特点.
设计意图
从学生感兴趣的实际问题入手，轻松的进入课堂，不知不觉地进入数学的情境中.表格在描述掷骰子这个随机试验的规律中起着重要作用，为更好地理解随机变量分布列的概念做好铺垫.
师生活动：
分布列可以帮助我们来解决一些实际问题.比如，“掷骰子”试验中“向上点数小于3”的概率，“摸次品”试验中如何求解“至少1件次品”的概率（两种方法）.明确分布列完全描述了这个随机变量所刻画的随机现象.从这里可以完整地反映随机事件发生的概率分布状况.
设计意图
通过对事件之间关系的分析，不仅使随机变量概念在学生头脑中进一步升华，更体现了随机变量描述随机试验结果的科学性和合理性.
研究问题3：抽象概括“离散型随机变量的分布列”的概念.
师生活动：
由师生共同得出离散型随机变量分布列的概念.
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为
??表1称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为的分布列.
?? 有时为简单起见，也用等式表示的分布列.
师生活动：
反思概念，明确指出离散型随机变量的分布列的求解步骤.
设计意图
1.让学生从特殊到一般，由具体到抽象，得出求离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性.揭示数学通常的发现过程，给学生“数学抽象”的体验，这种引出方式自然而易于学生接受.
2.培养学生提炼方法，归纳概括的能力，并学会学以致用，渗透从特殊到一般的数学思想.
3.通过有效的信息交流，使学生对分布列的概念有更深刻的认识，真正把课堂还给学生.
活动二：探索性质，理解作用
研究问题4：探索“离散型随机变量的分布列”的性质.
师生活动：
?? 学生根据概率的性质，结合具体的实例，小组讨论离散型随机变量的分布列的性质，并且辨析概念.
离散型随机变量的分布列的性质：
设计意图
1.以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，有利于学生对知识的掌握，并强化对分布列概念的理解；
2.学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦；
3.在课堂教学中，通过展示，让学生辨析、交流、讨论，实质是抓住了概念构建中的一个非常重要的“生长点”，使得学生对于概念有了一个主动辨别、探究、构建的过程.
活动三：概念应用，数学建模
研究问题5：在掷一枚图钉的随机试验中，令
如果针尖向上的概率为，试写出随机变量的分布列.
师生活动：
利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率，这也是我们学习分布列的目的.学生板演，从具体实例中抽取特殊的分布列模型，师生共同总结两点分布的概念，并且介绍相关数学文化.
若随机变量
的分布列具有表2的形式，则称服从两点分布，并称为成功概率，两点分布又称0-1分布.
表2
0
1
设计意图
回扣课始的问题（掷硬币），便于学生感受建立概率模型的整个过程，完善学生的认知结构，提升学生的数学素养，培养学生从数学的视角思考问题、分析问题和解决问题的能力.
研究问题6：在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，
（1）至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率；
（2）如果要将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？
师生活动：
学生以小组为单位，思考讨论，交流解题思路并利用图形计算器完成概率的求解.学生之间互相评价，共同提高.
设计意图
1.可以利用三种方法完成（1），但是在（2）中充分体现分布列的重要性.分布列体现出概率分布的完整性和概率分布的规律性，完全描述了这个随机变量所刻画的随机现象，从而可以完整地反映随机事件发生的概率分布状况.
2.学生熟练使用科学计算器，节约时间，方便，正确率高.
活动四：总结反思
1.本节课你都有哪些学习收获？
2.课后，你还想进行什么探究？
师生活动：
教师引导，学生回答.从知识结构、数学思想方法等方面，对所学知识进行反思.
设计意图
通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，便于理解记忆，归纳梳理了本节的知识和方法.通过思考问题，拓展学生的视野，提高学生探究意识.
课后作业
1.《选修2-3》（人教A版）P49 ?习题2.1：A 组5,6 ?;? B组1,2
2.思考作业：一个人在街边摆一个小摊，挂个牌，上面写着有奖摸球.规则如下：共有10个红球，和10个白球，这些球除颜色外完全相同.将这20个球一起放入口袋中，每次摸出10个球.出10元钱可以参与游戏.请大家根据所学知识，考虑是否参与？
奖励
摸奖结果
10000元
10个红球或10个白球
1000元
9红1白或9白1红
100元
8红2白或8白2红
20元
7红3白或7白3红
不中奖
6红4白或6白4红或5红5白
设计意图
在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组思考题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生的学习兴趣．
六、板书设计
?????????????? ???????? 课题
1.定义?????? 2.性质??? 3.两点分布
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七、教学反思（略）
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